Contoh: 1. Suatu proposisi dilambangkan dengan huruf kecil yaitu p, q, r,. Menggabungkan 2 Proposisi atau Lebih Jika diberikan proposisi p dan q maka berlaku: 1. Sedangkan kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk compound proposition.
Tautologi dan Kontradiksi Suatu proposisi majemuk disebut tautologi jika semua kasusnya bernilai benar B. Sedangkan proposisi majemuk disebut kontradiksi untuk semua kasus bernilai salah S.
Jika tidak berlaku keduanya makan proposisi itu disebut kontingensi campuran B dan S. Silakan cek tabel kebenaran 1. Ekuivalensi logis Kedua ekspresi logika disebut ekuivalensi logis jika memiliki nilai kebenaran yang sama pada tiap baris tabel kebenaran. Hukum-Hukum Logika Beberapa hukum-hukum logika, yaitu: No. Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya.
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya maka ia tidak mempunyai mobil. Selanjutnya perbandingan nilai kebenaran keempat sifat di atas akan ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut ini. Penarikan Kesimpulan Dengan Aturan Inferensi Selain menggunakan hukum-hukum logika, dalam penarikan kesimpulan, kita membutuhkan beberapa konsep tambahan, yaitu: a.
Apakah penarikan kesimpulan dari premis-premis di atas valid? Dengan demikian, argumen yang diselidiki valid. Contoh: Diberikan beberapa premis berikut ini: P1 : Anda pintar membuat program atau merakit hardware komputer. C : Anda pintar membuat program atau mengelola anti virus. Jadi, penarikan kesimpulan dari argumen di atas valid. Latihan Mandiri 1. Manakah yang merupakan proposisi?
Jika merupakan proposisi maka tentukanlah nilai kebenarannya. Siapa namamu? Hari ini hari Rabu. Tentukan apakah termasuk tautologi, kontradiksi atau kontingensi? Tunjukkan validitas dari kesimpulan dengan aturan inferensi. Jika Zeta rajin bekerja maka ia mendapat reputasi kerja yang baik. Bila Zeta memiliki reputasi yang baik maka karirnya akan meningkat dengan cepat. Karir Zeta mandek.
Jadi, Zeta tidak rajin bekerja. Pengertian Himpuan Himpunan sets adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Contoh: a. Kumpulan mahasiswa jurusan Manajemen Informatika yang berumur di atas 19 tahun.
Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda atau manusia disebut dengan himpunan. Kumpulan mahasiswa jurusan TI yang ganteng. Kumpulan masakan Bangka yang enak. Perhatikan bahwa kedua contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas.
Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap kelompok yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas bukanlah suatu himpunan.
Anggota atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan dalam huruf kecil. Selanjutnya cara penyajian pada contoh a dan c disebut bentuk pendaftaran tabular-form dan cara penyajian pada contoh c disebut bentuk perincian set-builder form. Jenis-Jenis Himpunan a. Himpunan kosong null sets Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan semesta universal sets Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta.
Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini. Jika himpunan A memiliki n anggota maka banyak himpunan bagian dari A adalah 2n. Keluarga himpunan family of sets Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua elemennya berupa himpunan. Himpunan terhingga finite dan tak terhingga infinite Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga. Himpunan dengan n anggota. Himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan bulat. Himpunan terhitung countable dan tak terhitung uncountable Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga finite atau tak terhingga infinite.
Himpunan bilangan ganjil. Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung jumlahnya. Hal ini cukup beralasan karena kita tidak bisa menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara dua bilangan bulat yang berurutan. Himpunan saling lepas disjoint sets Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A dan B tidak memiliki elemen yang sama. Kesamaan Himpunan Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.
Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan. Representasi Himpunan Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan dengan jelas.
Diagram Venn Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan himpunan di dalamnya. Contoh: 2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut. Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan not comparable sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B dapat diperbandingkan comparable.
Diagram garis Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan menggunakan diagram garis. Perhatikan diagram garis berikut ini! Operasi Pada Himpuan Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut. Komplemen 1. Perhatikan diagram Venn berikut ini!
Sifat-Sifat Operasi Himpunan Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan: a. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari a. Diagram Venn i. Diagram Garis 3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini! Tentukan himpunan dari a. Laut b. Sungai c. Danau d. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa kelas Agribisnis A. Yuda menyukai sepak bola dan futsal. Siska menyukai bulutangkis. Amri tidak menyukai sepak bola, dan menyukai futsal.
Bambang menyukai semua jenis olahraga. Aqida tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas! Siapa yang menyukai futsal dan Bulutangkis! Pengertian Fungsi Diberikan dua buah himpunan tak kosong yaitu himpunan A dan B.
Elemen pada himpunan A dapat dihubungkan dengan elemen pada himpunan B , hubungan atau aturan ini dinamakan relasi. Relasi yang mengaitkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B disebut dengan fungsi. Berikut ini ilustrasi dari suatu fungsi. Cara menyajikan fungsi Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya: Contoh: Penulisan pada relasi. Himpunan pasangan terurut. Formula pengisian nilai assignment. Apakah f merupakan fungsi? Jawab: Relasi f adalah fungsi dari A ke B.
Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jawab: Relasi f adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Jawab: Relasi f bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Jawab: Relasi f bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Jenis-Jenis Fungsi Ada 3 macam jenis fungsi yaitu: 1. Fungsi Injektif Fungsi f dikatakan satu-ke-satu one-to-one atau injektif injective jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.
Apakah merupakan fungsi injektif? Jawab: Relasi f adalah fungsi satu-ke-satu. Fungsi Surjektif Fungsi f dikatakan dipetakan pada onto atau surjektif surjective jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah atau range dari f.
Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. Apakah merupakan fungsi pada? Jawab: Relasi f bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah atau range dari f. Relasi f merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Fungsi Bijektif Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi bijection jika ia fungsi satu-ke- satu dan juga fungsi pada.
Apakah merupakan fungsi bijektif? Jawab: Relasi f adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Balikan fungsi dilambangkan dengan f —1. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible dapat dibalikkan , karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible tidak dapat dibalikkan jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Apakah fungsi ini invertible? Jawab: Relasi f adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Komposisi Dua Fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.
Tentukan fungsi komposisi dari A ke C. Jawab: a. Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.
Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal basis. Contoh definisi rekursif dari faktorial: a. Jawab: 5! Latihan 1. Apakah merupakan fungsi? Tentukan: a. Tentukan nilai dari: a. Pengertian Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Buktikan p n 2 benar!
Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Misalkan p n adalah pernyataan yang memuat bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p n benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: 1.
Langkah induksi berisi asumsi andaian yang menyatakan bahwa p n benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p n benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh: Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. Barisan dan Deret 9. Teori Grup dan Ring Aljabar Boolean Kombinatorial Teori Peluang Diskrit Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens Teori Graf Kompleksitas Algoritma Pemodelan Komputasi Beberapa materi akan dipelajari lebih mendalam, seperti materi algoritma dipelajari secara lebih mendalam pada kuliah Algoritma dan Pemrograman, teori peluang diskrit pada kuliah Probabilitas dan Statistik, Pemodelan komputasi pada kuliah Otomata dan Teori Bahasa Formal, fungsi pembangkit dimasukkan ke dalam kuliah Model dan SImulasi, sedangkan barisan dan deret biasanya dimasukkan ke dalam kuliah kalkulus.
Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter? Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil? Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?
Apakah kedua pernyataan tersebut menyetakan hal yang sama? Dalam matematika digunakan huruf — huruf kecil seperti p, q, r, Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n variabel p, q, Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita b. Monde orang kaya atau ia sedih c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita d. Dua pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekivalen secara logis.
Selanjutnya, tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kombinasi nilai kebenaran pernyataan- pernyataan yang ada di dalamnya. Sebaliknya pernyataan yang selalu salah disebut kontradiksi dan pernyataan yang bukan tautologi ataupun kontradiksi disebut kontingensi. Kita akan menggunakan notasi T untuk tautologi dan F untuk kontradiksi. Misalkan p : Minggu depan ada ujian, q : Mahasiswa sibuk belajar.
Pernyataan- pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran selalu sama disebut pernyataan yang ekivalen. Jadi pernyataan "jika minggu depan ada ujian, maka mahasiswa sibuk belajar" ekivalen dengan pernyataan "jika mahasiswa tidak sibuk belajar, maka minggu depan tidak ada ujian".
Hal ini bisa dijelaskan sebagai berikut. Jika mahasiswa tidak sibuk belajar, pasti minggu depan tidak ada ujian sebab kalau ada mahasiswa akan sibuk belajar. Lain halnya dengan inversi dan konversinya. Jika minggu depan tidak ada ujian belum tentu mahasiswa tidak sibuk belajar, sebaliknya jika mahasiswa sibuk belajar belum tentu minggu depan ada ujian. Sering kali diinginkan untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai kebenarannya.
Argumen Valid dan Invalid Argumen adalah rangkaian kalimat — kalimat. Kalimat terakhir disebut kesimpulan. Secara umum, hipotesa dan kesimpulan dapat digambarkan sebagai berikut : P1 P2 P Sebaliknya meskipun semua hipotesa benar tetapi ada kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut dikatakan invalid.
Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat. Buat tabel yang merupakan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar. Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilai bernilai benar, maka argumen itu valid.
Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen itu invalid. Kesimpulannya adalah p v q. Pada baris — baris tersebut kesimpulannya juga bernilai T. Maka argumen tersebut valid.
Pada baris ke 4 baris kritis nilai konklusinya adalah F, maka argumen tersebut invalid. Metode Inferensi yaitu teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesa yang ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran. Jika kacamata ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi b. Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur c.
Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang f. Jika aku membaca korang di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di mana letak kacamata tersebut! Dalam contoh fakta e tidak digunakan. Hal ini tidak menjadi masalah selama penurunan dilakukan dengan menggunakan metode inferensi yang benar.
Fungsi boolean terdiri dari variabel- variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar.
Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.
Fungsi itu biasanya ditulis — x 3. Setengah dari nilai fungsi ekspresi yang berbentuk Literal akan bernilai 1 dan setengah yang lain bernilai 0. Isi kotak hitam adalah implementasi rangkaian secara rinci. Signal Masukan Kotak Hitam Signal Keluaran Rangkaian yang rumit dapat disusun dari unit-unit kecil yang disebut gerbang gates.
Suatu gerbang tertentu bersesuaian dengan suatu fungsi boole sederhana. Ada beberapa gerbang dasar yang banyak dipakai. Akan tetapi, secara umum ada 2 jenis metoda pembuktian, yaitu metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung. Tulislah teorema yang akan dibuktikan. Tuliskan mana yang diketahui hipotesis dan mana yang akan dibuktikan.
Menggunakan hal- hal yang akan dibuktikan dalam salah satu langkah pembuktian merupakan kesalahan fatal. Hal yang akan dibuktikan merupakan sesuatu yang belum dipastikan kebenarannya sehingga tidak boleh dipakai. Oleh karena itu, pemisahan yang baik antara hal-hal yang diketahui dari teorema dengan hal-hal yang harus dibuktikan akan menolong kita sehingga kita tidak melakukan kesalahan tersebut.
Buktikanlah secara lengkap dan menyeluruh. Pembuktian yang dilengkapi dengan keterangan-keterangan yang lengkap akan membuat lebih mudah dibaca dan dimengerti sehingga tidak membingungkan apabila kita menggunakannya sebagian atau seluruhnya lagi. Beberapa keterangan pelengkap antara lain: a. Tulislah variable dan tipenya yang akan digunakan. Itu berguna untuk selalu mengingat tipe variable yang dipakai dalam langkah-langkah pembuktian selanjutnya.
Apabila di tengah-tengah pembuktian ada sifat suatu variable yang akan digunakan, tuliskanlah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas. Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributive, komutatif, dan sebagainya dalam suatu persamaan, tuliskanlah itu di sebelah kanannya. Contoh: a. Disamping itu, juga akan dijelaskan bahwa k merupakan bilangan bulat juga karena merupakan jumlahan dari 2 bilangan bulat. Tandailah akhir pembuktian. Gunanya adalah agar diketahui dengan jelas bahwa teorema sudah terbukti.
Contoh: Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 4 dan 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima. Sebaliknya, bukti dimulai dari hal-hal lain. Yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi. Jadi, jika ingin membuktikan kebenaran p, langkah yang dilakukan adalah dengan mengandaikan bahwa —p benar, kemudian berusaha menunjukkkan bahwa pengandaian tersebut akan menyebabkan terjadinya kontradiksi.
Dengan demikian, disimpulkan bahwa pengandaian -p salah atau p benar. Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan kontradiksi adalah sebagai berikut: 1. Misalkan negasi dari statement yang akan dibuktikan benar. Dengan langkah-langkah yang benar, tunjukkanlah bahwa pada akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi.
Simpulkan bahwa statement yang dibuktikan benar. Contoh Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar. Bukti Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi, diandaikan ada bilangan bulat yang terbesar sebutlah N. Oleh karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Berarti pengandaian salah sehingga pernyataan mula-mula yang benar. Terbukti bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.
Dengan demikian, pembuktian kebenaran suatu pernyataan dapat pula dilakukan dengan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Ada kalanya suatu pernyataan dapat dibuktikan dengan beberapa metode yang berbeda dengan sama baiknya. Akan tetapi, kadang-kadang itu hanya dapat diselesaikan dengan suatu metode tertentu saja. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. S n adalah fungsi propositional. Struktur loop adalah sebagai berikut: [Kondisi sebelum loop] While S [Perintah-perintah dalam tubuh loop.
Sekali kondisi S bernilai salah, eksekusi pada kalang dihentikan. Suatu loop dikatakan benar terhadap konsisi sebelum dan setelah loop bila dan hanya bila setiap variable-variabel memenuhi kondisi sebelum loop dan loop dieksekusi sehingga variable- variabel tersebut memenuhi kondisi setelah loop. Kebenaran loop dapat dibuktikan dengan teorema loop invariant sebagai berikut. Misalkan pula diberikan predikat I n yang disebut loop invariant. Apabila keempat syarat berikut benar, maka loop benar terhadap kondisi sebelum dan sesudahnya.
Basis Kondisi sebelum loop berarti bahwa I 0 benar sebelum iterasi pertama dalam loop. Kondisi Penghentian Setelah sejumlah iterasi loop yang berhingga, maka syarat kondisi S menjadi salah.
Kebenaran kondisi setelah loop Jika untuk suatu bilangan bulat tak negative N, syarat kondisi S salah dan I N benar, maka harga variable akan sama dengan yang ditentukan dalam kondisi akhir loop. Contoh Perkalian m bilangan bulat tak negative dengan x didefinisikan sebagai m. Liu, Himpunan digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek. Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota.
Biasanya notasi himpunan ditulis dengan huruf besar seperti A, B, C, … dan elemen dengan huruf kecil. Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal 2. Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.
Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah. Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah. Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah. Kontradiksi 2. Tautologi 3. Kontingensi Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Kuantor dibedakan atas: 1. Semua manusia fana 2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa 3. De Morgan a. Komutatif a. Asosiatif a. Distributif a. Material Equivalen a. Tautologi a. Jika pernyataan p bernilai salah dan q pernyataan berikut benar kecuali … bernilai benar, maka pernyataan di A.
Diberikan 4 pernyataan p, q, r, dan s. Jika hipotesa p benar dan konklusi q E. Jika pernyataan p bernilai benar dan q kebenaran salah. Titik-titik di atas dengan bernilai salah, maka pernyataan di simbol bawah ini yang bernilai benar … A.
Nilai x yang menyebabkan pernyataan C. Jika p bernilai salah, q bernilai benar, E. Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan prinsip inklusi-eksklusi. Contoh 2. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier.
Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut? Jawab : Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier.
Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui yang habis dibagi oleh 7 atau 11? Jawab : Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi Jadi, terdapat bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi 7 atau habis dibagi Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini.
Berapa banyak elemen yang terdapat dalam himpunan A1 A2 jika terdapat 12 elemen dalam A1 dan 18 elemen dalam A2 , dan a. Pada sebuah sekolah tinggi terdapat siswa yang mengambil mata kuliah kalkulus, siswa mengambil kuliah matematika diskrit dan siswa mengambil kedua mata kuliah tersebut. Berapa siswa yang mengambil kalkulus saja atau matematika diskrit saja?
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11? Jawab : Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi 5, Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi 7, dan R himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi Jadi, terdapat bilangan bulat positif tidak melampaui yang habis dibagi 5, 7 atau habis dibagi Terdapat dua elemen bersama pada setiap pasang himpunan dan satu elemen bersama dari setiap pasangan tiga himpunan.
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif tidak lebih dari yang habis dibagi oleh 2, 5 dan 7. Seorang mahasiswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian Matematika Diskrit. Berapa banyak pilihan yang ia miliki jika paling sedikit ia harus menjawab 4 dari 5 soal pertama?
Formulasi prinsip inklusi eksklusi untuk himpunan hingga A1 , A2 , A3 , Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir. Pada percobaan melempar sebuah dadu. Pada percobaan melempar dua mata uang logam. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan: a.
Ruang Sampel S b. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar c. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar 2. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2 4.
Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan kali Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar! Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif a. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada orang 4.
Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang: a. Jumlah mata dadu yang muncul 7 b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3 c.
Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5 Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang, Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.
Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1 d.
0コメント